Cálculo Diferencial I

Aula 04: Retas Tangente e Normal, Taxa de Variações e Derivadas de Funções


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Versão Textual

A partir desta aula, será visto como o limite pode ser aplicado em diversos tipos de problemas que surgem em outras ciências além de Matemática, como Física, Química, Biologia, etc. Este tópico trata de um problema geométrico, cujo objetivo é chegar ao conceito de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.

A reta tangente a uma circunferência, parábola, elipse e a um ramo de uma hipérbole num ponto, é definida em Geometria Analítica, como a reta que intercepta essas cônicas somente nesse ponto, nesse estágio, a unicidade desse ponto de interseção é um argumento indispensável para chegar nas equações das retas. Este conceito de reta tangente, não se aplica a uma curva qualquer; entretanto, para uma reta ser tangente a uma curva num ponto Po, será exigido que pelo menos em algum arco da curva em torno de Po a reta não intercepte a curva noutro ponto, além disso, outras considerações são exigidas conforme será visto a seguir.


A equação de uma reta fica determinada, quando são conhecidos um ponto e a declividade da reta. Portanto para encontrar a equação da reta tangente a uma curva num ponto dado, resta obter a declividade da reta.

Seja f uma função contínua em para definir a declividade da reta tangente ao gráfico de  f  no ponto considere a reta contendo Po e outro ponto do gráfico de  f, tal reta é chamada de reta secante.

Declividade da Reta secante (Clique aqui)

Como o triângulo   na figura é retângulo, a declividade da reta secante contendo  Po  e  P,  é

mas    e   assim

Considerando o ponto Po  fixo e o ponto  P  tendendo ao ponto  Po  ao longo da curva (isto é,  P  aproximando-se de  Po  sem sair da curva, ou equivalente, fazendo  ), se a reta secante tem uma posição limite, esta posição limite é definida como a da reta tangente à curva no ponto Po.  

Assim, a declividade    da reta tangente ao gráfico de  f  no ponto  Po  pode ser vista como o limite da declividade da reta secante quando  , ou seja,

se o limite existe.

Existem situações onde é útil mudar neste limite a variável x para uma variável , fazendo ou seja, e equivale a assim,

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Observação

Evidentemente que se  existe, a reta tangente não pode ser vertical; assim é relevante examinar o tipo de não existência do limite de  se a reta tangente é vertical. Isto significa que deverá ser analisado os limites unilaterais de  se a reta tangente é vertical.


Vejamos como funciona (Clique aqui)

Inicialmente, considere a reta tangente vertical como o limite da secante girando no sentido anti-horário.

Observe (na figura) que se    ou  , então  assim

pois    e    se   Seja agora a reta tangente vertical como o limite da secante girando no sentido horário.

Note (na figura) que se   ou  , então  logo

pois   e   se 

Portanto, é sugestivo que a definição de reta tangente seja como a seguir. Seja f uma função contínua em então a reta tangente ao gráfico de  f  no ponto é a reta de equação:

(a) se existe;

(b) se ou

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Observação

Observe que a reta tangente ao gráfico de uma função  f  num ponto, está definida apenas nos casos de inexistência do limite de  em que ou , isto é, nos outros casos em que  não existe, diz-se que o gráfico de  "f"  não tem reta tangente em Po .


A reta normal a uma curva num ponto, é a reta perpendicular a reta tangente à curva nesse ponto.

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Exemplo resolvido

Achar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da parábola   no ponto A(1,1). Fazer os gráficos da parábola e das retas.

Solução (Clique aqui)

Fazendo   tem-se

é a declividade da reta tangente ao gráfico da equação  no ponto A. Portanto  é uma equação da reta tangente, que simplificando dá  Como  é a declividade da reta perpendicular à reta de declividade igual a 2, tem-se  como uma equação da reta normal ao gráfico da equação dada em A, que simplificando dá   Os gráficos estão na figura a seguir.

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Exemplo proposto

Mostrar que  e Po são as equações das retas tangente e normal à curva no ponto em que x=1 respectivamente. Fazer os gráficos da curva e das retas.

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Leitura Complementar

Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Movimento Retilíneo ou clique aqui.

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Atividade de Portfólio

Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando(Aula04_Top1).doc ou clique aqui para abrir o exercitando. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 7  e  17  do exercitando, são as respectivas questões  1  e  2  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. As questões  3  até  5  do trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.

Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva

Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual