Cálculo Diferencial II

Aula 08: Gradiente, Divergente e Rotacional


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Versão Textual

O objetivo deste tópico é usar derivadas parciais para definir três operadores, que aparecem em várias aplicações em Física e nos teoremas principais do Cálculo Integral de Funções Vetoriais (a ser visto no curso posterior de Cálculo). O primeiro desses operadores é chamado de gradiente e usa uma função real para definir um campo vetorial, os outros são denominados de divergente e rotacional, ambos utilizam campos vetoriais para definir uma função real e um outro campo vetorial, respectivamente.

Seja uma função real de variáveis , se todas as derivadas parciais existem num subconjunto ,  o campo gradiente  de  f  (ou simplesmente, o gradiente de  f)  é indicado e definido num ponto por:


Em particular, se f é uma função real de variáveis x e y, o grad f é um campo vetorial dado por:


E se f é uma função real de variáveis x, y e z, o grad f é um campo vetorial dado por:

Exemplo Resolvido 1

Calcular o gradiente da função .


Solução

Da definição de gradiente, tem-se

gradf (x,y) =

Exemplo Proposto 1

Calcular o gradiente da função

Se um campo vetorial tal que existe uma função onde F = grad f num subconjunto diz-se que F é um campo gradiente em B e a função f é um potencial real do campo F em B. Em geral, o potencial real de um dado campo gradiente, não é único; entretanto, é possível mostrar que dois potenciais quaisquer diferem apenas de uma constante (isto será tratado no curso posterior de Cálculo). Outra questão que surge é sobre a existência de um potencial real para um campo vetorial dado, a resposta desta questão será estabelecida futuramente (isto também será tratado no curso posterior de Cálculo). O exemplo seguinte, ilustra um método par achar um potencial de um campo gradiente.

Exemplo Resolvido 2

Sabendo-se que  é um campo gradiente, encontrar o potencial real de  f  que satisfaz f(-1,0,2) = 3.


Solução

Como F = grad f, tem-se o
sistema seguinte:

Da primeira equação (por exemplo), obtém-se

f(x,y,z) = x2 cosy - xz2 + g(y,z).

Resta determinar g(y,z) para que f(x,y,z) satisfaça também as duas últimas equações do sistema. Derivando f em relação a y e igualando com a segunda equação do sistema, tem-se -x2 sen y + gy(y,z) = -x2 sen y, daí gy(y,z) = 0, isto é, g só depende de z, seja então g(y,z) = h(z). Substituindo g(y,z) em f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 + g(y,x), fica f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 + h(z), que derivando em relação a z e igualando com a terceira equação do sistema, tem-se -2xz + h'(z) = -2xz, daí h'(z) = 0, ou seja, h(z) = c onde c é uma constante. Logo, f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 + c é a solução geral do sistema. Como 3 = f(-1,0,-2) = 5 + c, o potencial real procurado é:

f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 - 2.

Exemplo Proposto 2

Sabendo-se que  é um campo gradiente, encontrar o potencial real de  f  que satisfaz


O operador diferencial vetorial (lê-se, nabla) é definido por:


Para uma função , define-se  nabla aplicado  a   f   por:


Assim, da definição de campo gradiente, tem-se  Doravante será usada a notação  para indicar o gradiente de  uma função  f.

Sejam  f  e  g  funções reais com derivadas parciais de primeira ordem em relação a todas as suas variáveis, então o gradiente tem as seguintes propriedades: Clique aqui para ver.

Parada Obrigatória

As demonstrações destas propriedades, decorrem diretamente da definição de gradiente e estão sugeridas no exercício  31  do exercitando deste tópico.


Seja um campo vetorial , em que cada função coordenada fi (i=1,...m) possui derivada parcial em relação a variável  xi  num subconjunto , então a divergente  de  F  é a função indicada e definida num ponto  P  de  B  por: 


Em particular, se o campo vetorial é definido por , então:


E se o campo vetorial é definido por , então:


O operador é também usado para representar o divergente de um campo vetorial.  Se é dado por , define-se nabla escalar F  por:


Logo, da definição de divergente, tem-se A partir deste momento será usada a notação invés de div F.

Exemplo Resolvido 3

Encontrar o divergente do campo vetorial  num ponto qualquer.


Solução

Da definição de divergente, tem-se ∇⋅ F(x,y) = assim

∇⋅ F(x,y) = y sec2 x +

Exemplo Proposto 3

Achar o divergente do campo vetorial num ponto qualquer.

Se F é um campo vetorial tal que tem derivadas parciais de segunda ordem em relação a cada variável , o laplaciano  de  f  é definido por e a equação é dita a equação de Laplace. Uma função que é solução da equação de Laplace num subconjunto  B  do seu domínio é chamada uma  função harmônica  em  B.

Exemplo Resolvido 4

Sendo onde   provar que  f  é harmônica exceto na origem.


Solução

Como ∇2f(x,y,z) = ∇.∇|r|-1, tem-se

logo f é solução da equação de Laplace exceto na origem, ou seja, f é harmônica em qualquer conjunto que não contém a origem.

Exemplo Proposto 4

Se  onde , verificar se  f  é harmônica em algum subconjunto do seu domínio.

Se  F  e  G  são campos vetoriais e  f  é uma função real, o divergente tem das seguintes propriedades:


As demonstrações destas propriedades são consequência direta da definição e estão sugeridas no exercício  31  do exercitando deste tópico.

Seja um campo vetorial definido por , tal que existem num subconjunto , então o rotacional  de  F  é o campo vetorial definido num ponto  (x,y,z)  de  B  por:  


Se é definido por tal que fy e  gx  existem num subconjunto , a função real dada por gx- fy  também é chamada de rotacional  de  F.

É possível encontrar a expressão para rot F usando o operador ,  sendo assim, define-se  nabla vetorial   F  por:


onde os produtos nos cálculos dos determinantes de segunda ordem, indicam derivadas parciais. Assim:


ou seja A partir deste momento será usada a notação  invés de  rot F.

Exemplo Resolvido 5

Calcular o rotacional do campo vetorial  


Solução

Por definição, tem-se

Exemplo Proposto 5

Calcular o rotacional do campo vetorial

Se F é um campo vetorial tal que em todo ponto  P  de um subconjunto  B  do seu domínio, diz-se que  F  é um campo vetorial irrotacional em B. É possível mostrar que sob certas restrições, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, ele é irrotacional (isto será tratado no curso posterior de Cálculo).

Dado um campo vetorial , se existe outro campo vetorial tal que  num subconjunto , o campo  G  é dito um potencial vetorial  do campo  F  em  B. A existência de um potencial vetorial para um campo vetorial dado, está relacionada com campos solenoidais, assim como os campos conservativos estão relacionados com campos irrotacionais. É possível mostrar que sob certas restrições, um campo vetorial tem um potencial vetorial se, e somente se, ele é solenoidal; tais restrições, referem-se ao campo vetorial e ao conjunto onde é desejado que o campo tenha o potencial vetorial. O exemplo 6 a seguir, estabelece um tipo de conjunto (que constitui um grupo de conjuntos amplamente utilizados), onde a equivalência se verifica. No curso posterior de Cálculo, será visto um tipo de conjunto onde um campo é solenoidal, mas que ele não possui um potencial vetorial nesse conjunto. 

Exemplo Resolvido 6

Seja  B  um conjunto aberto do R3, onde dois pontos quaisquer de  B  podem ser ligados através de segmentos paralelos aos eixos coordenados. Se é de classe C1  em   , mostrar que F tem  um potencial vetorial em  B  se, e somente se,  F  é solenoidal em  B.


Solução

Se F tem um potencial vetorial G num subconjunto B do domínio de F, decorre facilmente da definição de divergente que ∇⋅F = 0 em B. A verificação está sugerida no exercício 34 do exercitando deste tópico.

Para mostrar que F tem um potencial vetorial em B, suponha que F seja solenoidal em B. Sendo F(x,y,z) = (f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)), a existência do potencial vetorial G(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3,(x,y,z)) significa que F = ∇ x G, ou equivalente, que existe uma solução G(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3(x,y,z)) para o sistema

Considerando (isto é, g3 dependendo apenas de z), tem-se

assim (por integração)

onde z0 é constante, f e g são funções que independem de z. Resta determinar as funções f e g. Substituindo g1(x,y,z) e g2(x,y,z) f3 na equação de f3, obtém-se

Como F é solenoidal em B, isto é, em B, tem-se em B, assim

ou seja, f e g devem ser soluções da equação fx(x,y) - gy(x,y) = f3(x,y,z0). Tomando f(x,y) = onde x0 é constante e g(x,y) = , a última equação se verifica. Portanto, se F é solenoidal em B, definindo o campo vetorial por

tem-se F(x,y,z) = ∇ x G(x,y,z) para (x,y,z) B.

Exemplo Proposto 6

Resolva o exemplo anterior fazendo  

Se F e G são campos vetoriais e f é uma função real, o rotacional tem as seguintes propriedades:


As demonstrações destas propriedades decorrem diretamente da definição e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico.

Atividade de Portfólio

Vá ao exercitando e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios  5,  11, 15, 22  e  35  são as respectivas questões  1  até 5  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente Solar.

Leitura Complementar

No texto “Mudança de Coordenadas”; inicialmente, apresentamos as coordenadas cilíndricas e esféricas; posteriormente, estudaremos os operadores gradiente, divergente e rotacional em outros tipos de coordenadas além das coordenadas cartesianas. O tema é aplicado principalmente em Física, é recomendável uma leitura.

Responsável: Professor Jonatan Floriano da Silva

Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual