Os vetores podem ser multiplicados de três maneiras. Entretanto o que chamamos de multiplicação de vetores não é, em geral, uma simples multiplicação algébrica.
Se um vetor for multiplicado por um escalar, o resultado é um novo vetor, que conserva a mesma direção e sentido anteriores, mas o módulo é alterado pelo valor do escalar.
Multiplicação de um vetor A por um escalar a:
a) O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de x pelo módulo de A.
b) A direção do novo vetor é a mesma do vetor A.
c) O sentido é o mesmo de A se a for positivo; sentido oposto se a for negativo.
Existem dois modos de se fazer o produto de dois vetores:
O produto escalar de dois vetores 
é representado por 
definido como:
onde 
é o ângulo entre os dois vetores.
O módulo do produto escalar é o produto dos módulos dos 2 vetores, vezes o cosseno do ângulo entre eles.
O produto escalar pode ser escrito em termos das componentes dos vetores. Considerando os vetores no plano x-y:
Os vetores unitários 
, têm módulo igual a 1 e são orientados ao longo dos eixos x e y, respectivamente, então você pode usar a definição do produto escalar entre dois vetores:
As direções dos dois vetores formam um ângulo .
Você pode decompor o vetor, B, por exemplo, ao longo da direção do vetor A.
O produto escalar pode ser interpretado geometricamente como o produto do módulo de um dos vetores pelo módulo da projeção do outro vetor ao longo da direção do primeiro.
O resultado do produto do produto escalar é um escalar.
O produto vetorial de dois vetores 
representado por 
, é um vetor cujo módulo é definido como:
onde 
é o menor dos ângulos entra as direções dos dois vetores.
O módulo do produto vetorial é o produto dos módulos dos 2 vetores, vezes o seno do ângulo entre eles.
O produto vetorial também pode ser escrito na forma de um determinante:
A direção do vetor resultante do produto vetorial é determinada usando-se a regra da mão direita mostrada na figura abaixo:
O resultado do produto do produto vetorial é um vetor e a ordem da multiplicação dos vetores é muito importante.
O produto do produto vetorial não é comutativo, isto é:
Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema.
Dados os vetores abaixo, faça o produto escalar entre os vetores:
Mostre, usando esses vetores, que o produto escalar é comutativo.
O vetor 
do EXEMPLO 1 tem somente componentes 
, ou seja, componentes x e y, ao passo que 
tem componentes 
.
Isto significa que é perpendicular a ?
;
Dados os vetores abaixo, faça o produto vetorial entre os vetores:
Mostre, usando esses vetores, que o produto vetorial NÃO é comutativo.
Visualize graficamente vetores e suas componentes, assim como suas projeções nos planos cartesianos, na simulação acessado através do endereço URL.
Leia as instruções sobre como manipular a simulação no texto que pode ser lido noLink.
Estesite mostra uma simulação interessante da soma de vetores pelo método do paralelogramo.
Para que você não fique achando que um vetor é apenas uma seta e que não tem nenhuma utilidade prática, veja aqui quantos exemplos de aplicações de vetores você pode encontrar no seu dia-a-dia:
Quando um carro não pega é necessário empurrá-lo com a ajuda de várias pessoas. Naturalmente todos vão empurrar na mesma direção. Este é um exemplo de soma de forças (vetores) com a mesma direção e sentido.
Quantas vezes precisamos empurrar um móvel relativamente pesado de um lugar para outro, sem a ajuda de outras pessoas. Dificilmente se consegue acertar a direção de uma vez e vamos fazendo um zigue-zague (vetores em várias direções) até chegar à posição final.
Para viajar de uma cidade a outra de carro, ou de ônibus, é necessário seguir por ruas e estradas com orientações variadas até chegar ao destino final.
Para duas pessoas carregarem um cesto pesado, elas devem compor forças adequadamente.
Um bate-estacas é um equipamento utilizado para enterrar estacas, pilares que servirão de bases para construções. Basicamente é um peso muito grande que é levantado através de uma roldana e quando se encontra em uma altura entre dez a quinze metros, é solto. Assim vai afundando um pilar em golpes sucessivos. Cada vez vai aplicando uma força na direção normal.
Em qualquer esporte, direcionar uma bola a um determinado lugar é uma demonstração de composição de vetores. O peso da bola não é desprezível. Em cada instante, a velocidade da bola vai depender da impulsão dada pelo atleta e da velocidade de queda por causa da força peso.
Sugerimos algumas referências que possam complementar seus conhecimentos. Por exemplo, aprenda sobre produto vetorial, operação entre dois vetores que é bastante utilizada no estudo sobre rotação de corpos rígidos.
Cursos em hipertexto:
Animações/Simulaçõe on-line:
Agora chegou a hora de você se exercitar.
Segundo Thomas Alva Edison o Gênio é 1% de inspiração e 99% de transpiração.
Então mãos à obra!
Acesse a lista de exercícios-Aula 1
Mas lembre-se que os problemas propostos neste portfólio devem ser resolvidos por você. Você deve se esforçar ao máximo para obter a solução dos problemas por seus próprios meios. Isso não invalida o estudo em grupo, que é uma coisa muito diferente de copiar a solução dos exercícios do colega. Aliás, essa não é uma atitude inteligente. Na hora da prova você não poderá contar com essa "facilidade" não é?
Responsável: Prof. Humberto de Andrade Carmona
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual